Пусть
дана система
линейных уравнений с
неизвестными:
Будем
предполагать, что основная матрица
невырожденная.
Тогда, по теореме 3.1,
существует обратная матрица
Помножив матричное уравнение
на матрицу
слева, воспользовавшись определением
3.2, а также утверждением 8) теоремы 1.1,
получим формулу, на которой основан
матричный метод решения систем линейных
уравнений:
Замечание. Отметим, что матричный метод решения систем линейных уравнений в отличие от метода Гаусса имеет ограниченное применение: этим методом могут быть решены только такие системы линейных уравнений, у которых, во-первых, число неизвестных равно числу уравнений, а во-вторых, основная матрица невырожденная.
Пример. Решить систему линейных уравнений матричным методом.
Задана
система трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными
где
Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку её определитель отличен от нуля:
Обратную
матрицу
составим одним из методов, описанных в
пункте 3.
По формуле матричного метода решения систем линейных уравнений получим
5.3. Метод Крамера
Данный метод так же, как и матричный, применим только для систем линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений. Метод Крамера основан на одноимённой теореме:
Теорема
5.2.
Система
линейных уравнений с
неизвестными
основная матрица которой невырожденная, имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам
где
определитель
матрицы, полученной из основной матрицы
системы уравнений заменой её
го
столбца столбцом свободных членов.
Пример.
Найдём решение системы линейных
уравнений, рассмотренной в предыдущем
примере, методом Крамера. Основная
матрица системы уравнений невырожденная,
поскольку
Вычислим определители
По формулам, представленным в теореме 5.2, вычислим значения неизвестных:
6. Исследование систем линейных уравнений.
Базисное решение
Исследовать систему линейных уравнений – означает определить, какой является эта система – совместной или несовместной, и в случае её совместности выяснить, определённая эта система или неопределённая.
Условие совместности системы линейных уравнений даёт следующая теорема
Теорема 6.1 (Кронекера–Капелли).
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы:
Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем.
Теорема 6.2. Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой
Теорема 6.3. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.
Таким
образом, из сформулированных теорем
вытекает способ исследования систем
линейных алгебраических уравнений.
Пусть n
– количество неизвестных,
Тогда:
Определение 6.1. Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю.
Пример. Исследовать систему линейных уравнений. В случае неопределённости системы найти её базисное решение.
Вычислим
ранги основной
и расширенной матриц
данной системы уравнений, для чего
приведём расширенную (а вместе с тем и
основную) матрицу системы к ступенчатому
виду:
Вторую
строку матрицы сложим с её первой
строкой, умноженной на
третью строку – с первой строкой,
умноженной на
а четвёртую строку – с первой, умноженной
на
получим матрицу
К
третьей строке этой матрицы прибавим
вторую строку, умноженную на
а к четвёртой строке – первую, умноженную
на
В результате получим матрицу
удаляя из которой третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу
Таким
образом,
Следовательно, данная система линейных
уравнений совместна, а поскольку величина
ранга меньше числа неизвестных, система
является неопределённой.Полученной
в результате элементарных преобразований
ступенчатой матрице соответствует
система уравнений
Неизвестные
и
являются главными, а неизвестные
и
свободными. Придавая свободным неизвестным
нулевые значения, получим базисное
решение данной системы линейных
уравнений.
(иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ . Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:
- Записать три матрицы: матрицу системы $A$, матрицу неизвестных $X$, матрицу свободных членов $B$.
- Найти обратную матрицу $A^{-1}$.
- Используя равенство $X=A^{-1}\cdot B$ получить решение заданной СЛАУ.
Любую СЛАУ можно записать в матричной форме как $A\cdot X=B$, где $A$ - матрица системы, $B$ - матрица свободных членов, $X$ - матрица неизвестных. Пусть матрица $A^{-1}$ существует. Умножим обе части равенства $A\cdot X=B$ на матрицу $A^{-1}$ слева:
$$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$
Так как $A^{-1}\cdot A=E$ ($E$ - единичная матрица), то записанное выше равенство станет таким:
$$E\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$
Так как $E\cdot X=X$, то:
$$X=A^{-1}\cdot B.$$
Пример №1
Решить СЛАУ $ \left \{ \begin{aligned} & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end{aligned} \right.$ с помощью обратной матрицы.
$$ A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right). $$
Найдём обратную матрицу к матрице системы, т.е. вычислим $A^{-1}$. В примере №2
$$ A^{-1}=-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right). $$
Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$. Затем выполним умножение матриц
$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right)=\\ =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (-11) \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 309\\ -206 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right). $$
Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Ответ : $x_1=-3$, $x_2=2$.
Пример №2
Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end{aligned}\right.$ методом обратной матрицы.
Запишем матрицу системы $A$, матрицу свободных членов $B$ и матрицу неизвестных $X$.
$$ A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right). $$
Теперь настал черёд найти обратную матрицу к матрице системы, т.е. найти $A^{-1}$. В примере №3 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем $A^{-1}$:
$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). $$
Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$, после чего выполним умножение матриц в правой части данного равенства.
$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)= \frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right)=\\ =\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0+1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end{array}\right)=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 0\\-104\\234\end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right) $$
Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Назначение сервиса . С помощью данного онлайн-калькулятора вычисляются неизвестные {x 1 , x 2 , ..., x n } в системе уравнений. Решение осуществляется методом обратной матрицы . При этом:- вычисляется определитель матрицы A ;
- через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 ;
- осуществляется создание шаблона решения в Excel ;
Инструкция . Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B .
Напомним, что решением системы линейных уравнений называется всякая совокупность чисел {x 1 , x 2 , ..., x n } , подстановка которых в эту систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.
Система линейных алгебраических уравнений обычно записывается как (для 3-х переменных):
См. также Решение матричных уравнений .
Алгоритм решения
- Вычисляется определитель матрицы A . Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
- При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 .
- Вектор решения X ={x 1 , x 2 , ..., x n } получается умножением обратной матрицы на вектор результата B .
Пример №1 . Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
| ∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Пример №2
. Решить СЛАУ методом обратной матрицы.
2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1
3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2
5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3
4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
Запишем матрицу в виде:
Вектор B:
B T = (1,2,3,4)
Главный определитель
Минор для (1,1):
= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Минор для (2,1):
= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Минор для (3,1):
= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Минор для (4,1):
= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Определитель минора
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Пример №4
. Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.
Решение :xls
Пример №5
. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера ; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.
Методические рекомендации
. После решения методом Крамера, найдите кнопку "Решение методом обратной матрицы для исходных данных". Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется.
Решение
. Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; X - матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
|
B T =(4,-3,-3)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А - невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А -1 . Умножив обе части уравнения на А -1 , получим: А -1 *А*Х = А -1 *B, А -1 *А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений . Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А -1 .
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
| A 1,1 =(-1) 1+1 |
|
| A 1,2 =(-1) 1+2 |
|
| A 1,3 =(-1) 1+3 |
|
| A 2,1 =(-1) 2+1 |
|
| A 2,2 =(-1) 2+2 |
|
| A 2,3 =(-1) 2+3 |
|
| A 3,1 =(-1) 3+1 |
|
| 4 |
| -3 |
| -3 |
| X=1/14 |
|
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Транспонированная матрица
| A 1,2 =(-1) 1+2 |
|
| A 1,3 =(-1) 1+3 |
|
| A 2,1 =(-1) 2+1 |
|
| A 2,2 =(-1) 2+2 |
|
| A 2,3 =(-1) 2+3 |
|
| A 3,1 =(-1) 3+1 |
|
| A 3,2 =(-1) 3+2 |
|
| A 3,3 =(-1) 3+3 | 1/16 |
|
| (4 6)+(1 (-2))+(-1 6) | (4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12)) | (4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2)) |
| (2 6)+(0 (-2))+(-2 6) | (2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12)) | (2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2)) |
| (0 6)+(3 (-2))+(1 6) | (0 (-4))+(3 4)+(1 (-12)) | (0 (-2))+(3 6)+(1 (-2)) |
| =1/16 |
|
| A*A -1 = |
|
Пример №7
. Решение матричных уравнений.
Обозначим:
| A = |
|
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
| -12 | 15 | -5 |
| -4 | 5 | -2 |
| 7 | -9 | 3 |
B T =(31,13,10)
X T =(4.05,6.13,7.54)
x 1 = 158 / 39 =4.05
x 2 = 239 / 39 =6.13
x 3 = 294 / 39 =7.54
Проверка
.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10
Пример №9
. Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; X - матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
|
B T =(31,13,10)
X T =(5.21,4.51,6.15)
x 1 = 276 / 53 =5.21
x 2 = 239 / 53 =4.51
x 3 = 326 / 53 =6.15
Проверка
.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10
Пример №10
. Решение матричных уравнений.
Обозначим:
A 11 = (-1) 1+1 ·-3 = -3; A 12 = (-1) 1+2 ·3 = -3; A 21 = (-1) 2+1 ·1 = -1; A 22 = (-1) 2+2 ·2 = 2;
Обратная матрица A -1 .
| -3 | -3 |
| -1 | 2 |
| 1 | -2 |
| 1 | 1 |
| X = |
|
Матричный способ решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений следующего вида:
$\left\{\begin{array}{c} {a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +...+a_{1n} x_{n} =b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +...+a_{2n} x_{n} =b_{2} } \\ {...} \\ {a_{n1} x_{1} +a_{n2} x_{2} +...+a_{nn} x_{n} =b_{n} } \end{array}\right. .$
Числа $a_{ij} (i=1..n,j=1..n)$ - коэффициенты системы, числа $b_{i} (i=1..n)$ - свободные члены.
Определение 1
В случае, когда все свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае - неоднородной.
Каждой СЛАУ можно поставить в соответствие несколько матриц и записать систему в так называемом матричном виде.
Определение 2
Матрица коэффициентов системы называется матрицей системы и обозначается, как правило, буквой $A$.
Столбец свободных членов образует вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $B$ и называется матрицей свободных членов.
Неизвестные переменные образуют вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $X$ и называется матрицей неизвестных.
Описанные выше матрицы имеют вид:
$A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {...} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {...} & {a_{2n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {...} & {a_{nn} } \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {b_{1} } \\ {b_{2} } \\ {...} \\ {b_{n} } \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {...} \\ {x_{n} } \end{array}\right).$
Используя матрицы, СЛАУ можно переписать в виде $A\cdot X=B$. Такую запись часто называют матричным уравнением.
Вообще говоря, в матричном виде записать можно любую СЛАУ.
Примеры решения системы с помощью обратной матрицы
Пример 1
Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {3x_{1} -2x_{2} +x_{3} -x_{4} =3} \\ {x_{1} -12x_{2} -x_{3} -x_{4} =7} \\ {2x_{1} -3x_{2} +x_{3} -3x_{4} =5} \end{array}\right. $. Записать систему в матричном виде.
Решение:
$A=\left(\begin{array}{cccc} {3} & {-2} & {1} & {-1} \\ {1} & {-12} & {-1} & {-1} \\ {2} & {-3} & {1} & {-3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \\ {5} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right).$
$\left(\begin{array}{cccc} {3} & {-2} & {1} & {-1} \\ {1} & {-12} & {-1} & {-1} \\ {2} & {-3} & {1} & {-3} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \\ {5} \end{array}\right)$
В случае, когда матрица системы является квадратной, СЛАУ можно решить уравнения матричным способом.
Имея матричное уравнение $A\cdot X=B$, можно выразить из него $X$ следующим способом:
$A^{-1} \cdot A\cdot X=A^{-1} \cdot B$
$A^{-1} \cdot A=E$ (свойство произведения матриц)
$E\cdot X=A^{-1} \cdot B$
$E\cdot X=X$ (свойство произведения матриц)
$X=A^{-1} \cdot B$
Алгоритм решения системы алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы:
- записать систему в матричном виде;
- вычислить определитель матрицы системы;
- если определитель матрицы системы отличен от нуля, то находим обратную матрицу;
- решение системы вычисляем по формуле $X=A^{-1} \cdot B$.
Если матрица системы имеет определитель, не равный нулю, то данная система имеет единственное решение, которое можно найти матричным способом.
Если матрица системы имеет определитель, равный нулю, то данную систему нельзя решить матричным способом.
Пример 2
Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {x_{1} +3x_{3} =26} \\ {-x_{1} +2x_{2} +x_{3} =52} \\ {3x_{1} +2x_{2} =52} \end{array}\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.
Решение:
$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right). $
Нахождение определителя матрицы системы:
$\begin{array}{l} {\det A=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0} \end{array}$ Так как определитель не равен нулю, то матрица системы имеет обратную матрицу и, следовательно, система уравнений может быть решена методом обратной матрицы. Полученное решение будет единственным.
Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:
$A_{11} =(-1)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=0-2=-2; A_{12} =(-1)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=-(0-3)=3;$
$A_{13} =(-1)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-2-6=-8; A_{21} =(-1)^{2+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=-(0-6)=6; $
$A_{22} =(-1)^{2+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=0-9=-9; A_{23} =(-1)^{2+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-(2-0)=-2;$
$A_{31} =(-1)^{3+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {1} \end{array}\right|=0-6=-6; A_{32} =(-1)^{3+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-1} & {1} \end{array}\right|=-(1+3)=-4;$
$A_{33} =(-1)^{3+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {-1} & {2} \end{array}\right|=2-0=2$
Искомая обратная матрица:
$A^{-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).$
Найдем решение системы:
$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{13} \cdot 26-\frac{3}{13} \cdot 52+\frac{3}{13} \cdot 52} \\ {-\frac{3}{26} \cdot 26+\frac{9}{26} \cdot 52+\frac{2}{13} \cdot 52} \\ {\frac{4}{13} \cdot 26+\frac{1}{13} \cdot 52-\frac{1}{13} \cdot 52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2-12+12} \\ {-3+18+8} \\ {8+4-4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$
$X=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$ - искомое решение системы уравнений.
В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.
А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!
Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .
метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .
Корни уравнения находим по формулам:
,
Пример 7
Решить систему линейных уравнений 
Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.
Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.
;
;
Ответ : ,
Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.
Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.
Пример 8
Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, 
, 
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9
Решить систему по формулам Крамера. 
Решение
: Решим систему по формулам Крамера.
, значит, система имеет единственное решение.
Ответ
: 
.
Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.
Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:
1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).
2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.
Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.
Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.
Пример 10
Решить систему по формулам Крамера. 
Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.
Решение системы с помощью обратной матрицы
Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).
Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.
Пример 11
Решить систему с матричным методом 
Решение
: Запишем систему в матричной форме:
, где 
Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Сначала разбираемся с определителем:
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров 
Справка:
Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце
